TRIANGULOS.

TRIANGULOS.

Una figura con tres lados y tres ángulos, obviamente es un triángulo. Lo que usamos para medir el triángulo (tamaño, área cerrada, longitud de lados...) es la trigonometría, lógico razonamiento para una de las figuras geométricas más importantes.

Los ángulos de cualquier triángulo suman dos ángulos rectos o 180º, demostrado con un simple razonamiento, a través del punto (vértice) A de cualquier triángulo se traza una linea MAN paralela a la base BC. El ángulo ABC que llamaremos x es igual al ángulo BAM ya que son ángulos alternos y MN y BC son paralelos, los otros dos ángulos alternos son iguales a y; el ángulo en torno al punto A es de 180º ergo x+y+z (suma de los ángulos del triángulo), siempre suponiendo que plasmamos el triángulo en una superficie plana como pueda ser un papel.
Euclides demostró deductivamente muchos teoremas sobre triángulos, demostró que “en cualquier triángulo , dos lados, tomados conjuntamente de cualquier manera son mayores que el restante, lo que se conoce como la “desigualdad del triángulo” la cual tiene una importancia extrema en la matemática abstracta.

Euclides sembro y diversos matemáticos cultivaron y cosecharon múltiples teoremas, uno de los más importantes es el famoso Teorema de Pitagoras, el más grande teorema que versa sobre el estudio de los triángulos; a2 + b2 = c2 definido por Euclides en términos de “figuras cuadradas reales” como “En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que substende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto”; demostrado por el matemático en la Proposición 47 del Libro 1 de los Elementos.

LINEA EULER.

Cientos de proposiciones sobre triángulos son posibles, la linea Euler es una de ellas; pensemos en los puntos medios de los lados, en cualquier triángulo ABC marcamos los puntos medios D,E,F de sus lados, uniendo B con F y C con D, llamaremos G al punto donde se cruzan estos, A lo uniremos a E , y esa linea también cruzara por G, a G lo denominaremos centroide del triángulo, es decir el centro de gravedad del triángulo.

Podemos encontrar cientos de centros distintos, otro sería el H, el de las alturas que se encuentran, conocido como ortocentro, el circuncentro será donde las perpendiculares, es decir D, E y F se encuentran y así llegamos a la Linea Euler, que es la linea en la que se encuentran G, H y O (centroide, circuncentro y ortocentro), en un equilatero obvia decir que estos tres centros se encontraran en el centro mismo del triángulo.

TEOREMA DE NAPOLEON.

A través de los siglos el estudio sobre la figura de los triángulos ha sido muy practica en campos tan diversos como la cartografiá, la ingeniria e incluso la astronomía, dos ejemplos claros del uso del triangulo en estos campos es el teorema de Napoleón
Para cualquier triángulo ABC, el triángulo DEF es un triángulo equilatero. Se pueden construir triángulos equilateros partiendo de uno ABC en cada uno de sus lados. Conociendo la longitud y dos de sus ángulos de un lado podemos tener datos fundamentales para determinar la longitud del triángulo, usando la trigonometría podremos medir todo lo demás.
A la hora de aplicarlo en cartografiá pensaremos inocentemente que la tierra es plana y que los triángulos son planos, crearemos una red de triángulos desde una base BC, con longitud conocida y determinando un punto A lejano (punto de triangulacion) midiendo los ángulos ABC y ACB usando un teodolito, el topografo, usando la trigonometría, fija el siguiente punto de triangulacion desde la nueva linea base AB o AC y repite la operación creando una red de triángulos
Con este sencillo procedimiento se acometió entre 1800 y 1840 la Gran Planimetria Trigonometrica de la India con el objetivo de reconocer El Gran Arco Meridional, desde el Cabo Comorin en el sur hasta el Himalaya en el norte (2500 km); George Everest mando construir dos teodolitos gigantes, trabajo con el humilde triangulo en el centro de las operaciones, agarrándoselas sin GPS y usando calculadoras humanas.

Una vez calculado todas las longitudes de un triángulo, calcular el área es sencillo, el triangulo es la unidad, y esto se obtiene mediante la formula de Herón de Alejandria:

Formula Heron de Alejandria.

s es la mitad del perímetro del triangulo con lados de longitud a, b, y c.

El triángulo resulta indispensable en la construcción, a partir de su uso en topografía se aplico en otros campos, un triangulo es rígido, no se puede deformar a diferencia de un cuadrado o un rectángulo; la armadura de cubierta que se usa en construcción es la unión de varios triángulos, pensemos por ejemplo en un tejado; en la construcción de puentes se uso este mismo sistema, es lo que se conoce como armadura Warren, que puede soportar una carga pesada en comparación con su peso. El uso de triángulos equilateros resulto ser más fiable que diseños similares basados en isósceles (solo dos lados iguales), el primer puente de estas características se construyo en la London Bridge Station en 1848.

El uso cotidiano del triángulo va desde el iniciatico empleo de los niños en sus juegos de aprendizaje con estas figuras hasta el de los investigadores que se ocupan de la desigualdad del triangulo en las matemáticas abstractas, con base en la trigonometría obtendremos sus descripciones que permitirán hacer cálculos exactos para aplicaciones practicas.

McQ