PARANOIAS EN TORNO A PI.

PARANOIAS EN TORNO A PI.

Si hay un número “mediático”, popular, conocido y convertido en icono matemático este es PI.
El famoso PI, 3,141592653...., la longitud del exterior de un circulo; el primer racional que conocemos a edad ya muy temprana en nuestros primeros pasos por la geometría y la matemática.

En la paranoia que puede producir esté post me emborrachare de PI y de sus infinitas cifras, y de todas las combinaciones que queramos sobre PI. Podemos llegar a ver dentro del propio PI una cantidad de las mismisimas cifras de PI que se repiten, en algún lugar lejano, a millones de años luz de la coma decimal... (esto no se ha demostrado por ahora).


Pero si que hay una relación familiar, hermanos de sangre, entre PI y los numeros primos (1-1/22)(1-1/32)(1-1/52)(1-1/72)(1-1/112)(1-1/132) .... = 6/p2 ........ (a)
y generalización de la relación entre la potencia p de pi, y las p-potencias de los números primos:
(1-1/2p)(1-1/3p)(1-1/5p)(1-1/7p)(1-1/11p)(1-1/13p) .... = Ap / pp ........ (b) pudiendo llegar a determinarse el valor de Ap (número racional), como función de PI.

¿Asombroso? Usando la intuición y sacando rendimiento a analogias, partiendo de que las leyes matematicas son sencillas ¿No?
La formula que permite obtener PI, tras emplear la sumatoria de las inversas de los cuadrados de los numeros enteros es decir : 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + .... = p2/6 ........ (c); observemos (a) y (c) y veremos que para las cuartas potencias : 1/14 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + 1/54 + 1/64 + .... = p4/90 ........ (d); Recordando que Euler llego hasta las expresiones c y d, para las sextas potencias tenemos : 1/16 + 1/26 + 1/36 + 1/46 + 1/56 + 1/66 + .... = p6/945 ........ (e) y las octavas : 1/18 + 1/28 + 1/38 + 1/48 + 1/58 + 1/68 + .... = p8/9450 ........ (f) Analizando los denominaodres de las expresiones : 90, 945, 9450... se encuentra que el número 945 se obtiene multiplicando por 10.5 el 90, 9450 es el resultado de multiplicar por 10.0 el 945.... inducimos que el siguiente será: 9450 por 9.5, osea: 89775.... con esta sencillez uno encuentra la fórmula que relaciona a PI con las décimas potencias de los números enteros: 1/110 + 1/210 + 1/310 + 1/410 + 1/510 + 1/610 + .... = p10/89775 ........ (g’) calculando PI con esta fórmula, su valor sería 3.128662478298, usado por los chinos hace miles de años. La fórmula cierta que relaciona a PI con las décimas potencias de los números enteros debe ser : 1/110 + 1/210 + 1/310 + 1/410 + 1/510 + 1/610 + .... = p10/93555 ........ (g) así pues afirmando que el denominador del valor derecho de la fórmula para las duodécimas potencias es un número entero... obtendremos otro error ya que : 1/112 + 1/212 + 1/312 + 1/412 + 1/512 + 1/612 + .... = p12/ (638 512 875 / 691) ........ (h) pero existe una fórmula general para:
1/1p+ 1/2p + 1/3p + 1/4p + 1/5p + 1/6p + .... = PIp/A(p) ........ (i)
Pudiendose calcular el valor de A(p) en función de los valores A2, A4, .... , A(p-2) utilizando la fórmula (j): utilizando la fórmula (j): (p/2)/(p/1) =

deducido fácilmente con el Análisis de Fourier, generando integrales indefinidas de funciones trigonométricas con sumatorias
con la fórmula (j), se halla, para p=14, que :
7/15! = 1/ (13! * A2) - 1/ (11! * A4) + 1/ (9! * A6) - 1/ (7! * A8) + 1/ (5! * A10) - 1/ (3! * A12) + 1/ (1! * A14).... (k) Pero, que: A2 = 6, A4 = 90, A6 = 945, A8 = 9450, A10 = 93555,
A12 =638 512 875 / 691
Entonces, sustituyendo los valores en (k), tenemos que: A14 = 9 121 612.5; y :
1/114 + 1/214 + 1/314 + 1/414 + 1/514 + 1/614 + .... = p14/ (9 121 612.5) ........ (l)
solo considerando el primer término de la serie infinita, calculando para p un valor de 3.14157891, y con los dos primeros términos, 3.141592606....
Así con las fórmulas (i) y (j), encontramos la fórmula para obtener p para cualquier potencia par.
Y determinamos la relación que existe entre la potencia p de pi, y las p-potencias de los números primos:

Experimentando con :
(1-1/2p)(1-1/3p)(1-1/5p)(1-1/7p)(1-1/11p)(1-1/13p) .... = k ........ (m)
Para p=6, y usando un número elevado de los números primos, el valor de k resulta ser: 0.982952592265. Si la fórmula (b) es cierta, tenemos que:
A6 = k p6 = 945, que "coincide" y el acompañante de p6 de la fórmula (e). Del mismo modo, para p=8, se obtiene: k=0.995939201125
Y tenemos en : A8 = k p8 = 9450 ... Destaco la "coincidencia" con (f)
en que p=10, k=0.999006413069
Asi que : A10 = k p10 = 93555 ... Otra "coincidencia", con (g)
Para p=12, k=0.999753973990
Entonces: A12 = k p12 = 924041.787264823 ó 638 512 875 / 691 ...
Comparando este valor con el de la expresión (h)... ¿Puede ser que el azar sea tan ordenado?
Pues apostemos que para p=14, A14 = 9 121 612.5, obtenido en la expresión (l)
llegamos a la relación de que entre la potencia p (número par) de pi, y las p-potencias de los números primos, es :
(1-1/2p)(1-1/3p)(1-1/5p)(1-1/7p)(1-1/11p)(1-1/13p) .... = A p / pp
Siendo (según la fórmula (j) ):

solamente usaremos funciones aritméticas simples para hallarlo :

1-1/22)(1-1/32)(1-1/52)(1-1/72)(1-1/112)(1-1/132) .... = 6 / p2
(1-1/24)(1-1/34)(1-1/54)(1-1/74)(1-1/114)(1-1/134) .... = 90 / p4
(1-1/26)(1-1/36)(1-1/56)(1-1/76)(1-1/116)(1-1/136) .... = 945 / p6
(1-1/28)(1-1/38)(1-1/58)(1-1/78)(1-1/118)(1-1/138) .... = 9450 / p8
(1-1/210)(1-1/310)(1-1/510)(1-1/710)(1-1/1110)(1-1/1310) .... = 93 555 / p10

sucesivamente generaremos todas las fórmulas que desechemos para cualquier potencia par "p", donde el valor de la potencia "p" de pi, se relacionara con potencias "p" de los números primos.